대학에서 배우는 수학, 물리학

LearnUs 기초 모듈 시리즈 - 수학과 최성락 교수, 물리학과 박성찬 교수

LearnUs추진본부에서는 교내외 수요가 높은 키워드나 주제를 중심으로 해당 내용을 모듈화하고, 이를 재구성해 새로운 강좌로 엮은 LearnUs 모듈 시리즈를 개발하고 있다. 1차로 지난해 4월 ‘기초 통계’와 ‘변화하는 시대의 리더십’을 선보인 바 있고 9월, ‘SDGs의 이해’ 강좌를 론칭했다. 특히 ‘기초 통계’ 강좌의 경우 재학생은 물론 고등학생과 일반 등 다양한 계층의 수강률이 높아 기초 과목에 대한 관심과 수요를 확인했다. 이러한 교육 수요에 부응하고자 LearnUs 모듈 시리즈로 ‘기초 수학’과 ‘기초 물리학’ 강좌를 마련해 2월 말 론칭을 앞두고 있다.

‘기초 수학’과 ‘기초 물리학’ 강좌는 우리 대학교 이과대학 수학과 교수 9명(박승경, 최성락, 김병한, 홍한솔, 유명준, 양민석, 최영필, 이승철, 허영미 교수)과 물리학과 교수 4명(박성찬, 유휘동, 김관표, 김근수)이 참여해 강좌를 준비했다. 각 강좌의 책임 교원을 맡고 있는 수학과 최성락 교수와 물리학과 박성찬 교수에게서 대학에서 배우게 될 기초 수학과 기초 물리학에 대한 간략한 소개를 들었다. 수학과 물리학을 어렵고 멀게만 여겼던 문과생도 부담감을 내려놓고 호기심의 귀를 쫑긋 세워 보자.  

다음은 ‘기초 수학’ 강좌를 맡고 있는 수학과 최성락 교수와의 질의응답이다.

Q. 식량의 수를 세는 단순한 셈에서부터 ‘수학’은 인류의 역사와 함께 시작됐다고 하는데요, 사실 평범한 사람들에게 수학은 매우 어렵고 난해한 것으로 여겨지곤 합니다. 일부 학생들은 ‘수포자’라는 말을 할 정도로 수학을 기피하는 현상도 있는데요, 우리가 왜 수학을 공부해야 할까요?

수학은 인류의 역사와 함께 시작됐습니다. 처음에는 수확한 열매의 개수를 세거나 소유한 땅의 넓이를 기록해야 할 필요가 있어서 나뭇가지에 흠집을 내어 개수를 표시하거나 점토 등을 이용해서 땅의 넓이를 기록하려고 한 것이 수학의 기원이라고 합니다. 수학의 많은 분야가 이렇게 생활 속의 필요에 의해 발전됐으며 일상생활을 하는 데 많은 편리함을 가져다줬습니다. 현재도 물론 많은 곳에서 새로운 수학을 필요로 하고 있으며 일상생활을 더 편리하게 만들기 위해서 많은 수학자들이 연구에 매진하고 있습니다. 하지만 모두가 잘 아시는 것처럼 중고등학교 또는 대학교에서 배우는 수학은 일상생활에서 쓸모가 없어 보일 때가 많습니다. 그럼에도 불구하고 수학을 배워야 한다는 스트레스 때문에 ‘수포자’가 돼 버린 사람들은 좌절감을 느끼게 됩니다. 수학에는 실생활에 바로 적용되는 실용적인 것들도 있지만 이런 실용적인 것과는 동떨어져 보이는 수학도 많이 있습니다. 

강의에서도 언급했듯이 수학의 발전은 인류 문명의 발달 척도가 되기도 합니다. 수학이 발달한 문명일수록 첨단 기술이 발달했고 풍요로운 문화를 꽃피웠습니다. 현대는 물론이고 과거에도 모든 문명의 혜택은 수학의 발전에서 비롯됐다고 강조하고 싶습니다. 오늘날에도 인공지능, 머신러닝 등의 새로운 형태의 최첨단 수학 이론이 기업의 운명, 나라의 운명을 좌지우지할 수도 있게 됐습니다. 이러한 수학을 배우고 연구하기 위해서는 중고등학교 또는 대학에서 배우는 모든 수학들이 총동원됩니다. 대학교 수학 강의에서 배우는 내용들이 직·간접적으로 활용될 뿐만 아니라 수학을 배움으로써 얻어지는 논리적 사고력, 문제해결 능력, 창의력이 진가를 발휘하게 됩니다. 수학을 배우는 이유가 바로 여기에 있다고 생각합니다. 이 내용은 LearnUs 기초 수학 강좌 1강과 2강에서 더 자세하게 다뤘습니다.

Q. 대학에서는 어떤 수학을 배우게 되나요? 수학의 학문 분야에 대해서도 개괄적으로 소개해 주세요.

이공계 분야의 신입생이라면 ‘미적분학’이라는 과목을 먼저 수강하게 됩니다. 이 과목에서는 고등학교에서 배운 내용을 더 일반화하고 추상화해서 다시 배우게 되는데 신입생들이 경험하게 되는 대학 수학의 첫 난관이라고 할 수 있습니다. 수학과 학생이라면 다음으로 ‘고등미적분학’, ‘선형대수학’과 같은 과목으로 기초를 다진 후 전공과목을 수강하게 됩니다. 

이번 LearnUs ‘기초 수학’ 강좌에서는 여러 제약상 수학의 기초를 포함한 9개의 수학 분야만 소개를 했습니다. 미적분학의 개념을 바탕으로 함수의 성질을 연구하고 미분방정식을 푸는 해석학과 편미분 방정식, 그리고 추상적인 대수적 구조를 연구하는 대수학, 정수론이 수학 분야의 가장 큰 부분을 차지합니다. 그리고 물체의 연속적인 변화에 대한 불변량을 연구하는 위상수학, 대수적 방정식의 근의 모양을 연구하는 대수기하학, 확률을 연구하는 확률론, 그리고 수학 이론의 실용적인 활용을 모색하는 응용수학이라는 분야가 있습니다. 이번 기초 수학 강좌에서는 이 9개 분야에 대해서 조금 더 자세한 설명을 들으실 수 있습니다.

Q. 교수님께서 강의를 맡으신 ‘대수기하학(Algebraic Geometry)’은 어떤 수학인가요? 어떤 분야의 연구에 활용이 가능한지 궁금합니다.

대수기하학은 간단히 말해서 다항식의 근이 어떻게 생겼는지를 연구하는 학문입니다. 중고등학교 시절에 xy평면에서 직선의 방정식, 포물선의 방정식, 원의 방정식을 배워 본 기억이 있을 것입니다. 사실은 이것이 바로 대수기하학의 기초적인 형태라고 할 수 있습니다. 1차 방정식이 직선에 대응되고 2차 방정식이 포물선 또는 원에 대응되는 것처럼 방정식의 성질이 근들의 집합이 어떻게 생겼는지를 결정합니다. 대수기하학에서는 방정식의 근을 실수보다 더 일반적인 수 체계(예를 들어 복소수)에서 생각합니다. 그리고 앞서 말한 원과 포물선이 같은 것으로 취급되는 사영공간이라는 공간에서 근을 생각합니다. 더 나아가 방정식의 변수의 개수를 더 늘리고 방정식의 개수도 늘려서 공통근의 집합을 생각합니다. 이렇게 하면 직관에 어긋나는 현상들이 발생하는데, 예를 들어 xy평면을 일반화한 사영평면이라는 공간에서는 평행한 두 직선이 반드시 만나게 됩니다. 그리고 위에서 말한 포물선과 원도 사실은 같은 것으로 취급할 수 있게 됩니다. 대수기하학에서는 이러한 상황에서 방정식들의 대수적인 성질과 방정식들의 근이 이루는 집합(즉, 대수적 다양체)들 간의 연결 고리를 발견해서 연구하는 학문입니다. 

순수수학의 많은 분야들이 방정식의 근이 어떤 꼴로 나타나는지에 대한 아주 근본적인 궁금증으로부터 출발했습니다. 대수기하학은 이에 대한 해답을 제공해 주기 때문에 파생된 다른 수학 분야로의 적용이 자연스럽게 가능합니다. 복소기하학은 물론이고 정수론으로의 적용도 가능하며 최근에는 통계학, 조합론, AI 분야로의 응용도 모색되고 있습니다.  

Q. 그동안 교수님께서는 ‘대수적위상수학’, ‘복소기하’, ‘선형대수와그응용’, ‘선형대수와양자정보입문’, ‘대수기하’, ‘대수기하학’, ‘대수다양체개론’, ‘리만곡선’ 등의 과목을 강의하셨고, 대수기하학을 주된 관심사로 연구하고 계신데요, 대수기하학이 어떤 매력이 있나요?

앞서 말씀드렸듯이 대수기하학은 다항식의 근을 연구하는 학문입니다. 말은 단순해 보이지만 사실은 연구를 할 수 있는 단계에 이르기까지는 엄청난 양의 배경지식이 필요하고 순발력 있는 직관이 요구되기도 합니다. 이러한 준비를 하기 위해서는 최대한 많은 시간을 투자해서 논문과 책을 공부하며 배경지식과 직관을 쌓아 가는 길밖에 없습니다. 제가 강의한 과목들을 수강함으로써 이러한 준비를 하는 데 도움이 될 수도 있겠습니다. 오랫동안 공부해서 쌓아 온 지식들이 제자리를 찾아가며 하나의 새로운 결과를 만들어 내는 것을 보며 느끼는 성취감이 수학 연구의 매력이라고 할 수 있습니다. 특히 대수기하학에서는 하나의 작은 그림으로 시작되는 사소한 예들이 거듭된 일반화와 추상화를 거쳐서 큰 결과들이 되어갈 때 신비함을 느끼기도 합니다. 

Q. 런어스 ‘기초 수학’ 강좌는 어떤 분들이 수강하면 도움이 될까요?

이번에 준비한 ‘기초 수학’ 강좌는 대학에서는 어떤 수학을 배우고 어떤 연구가 진행되고 있는지에 대한 막연한 궁금증을 해소하는 데 도움이 될 것입니다. 대학교 신입생이라면 이과, 문과를 막론하고 고등학교 때 몰랐던 새로운 모습의 수학에 대해 알 수 있는 기회가 되고, 수학과 학생들에게는 세부 전공선택을 하는 데 도움이 될 것입니다. 마지막으로 ‘수포자’인 상태로 수학으로부터 멀어져 버린 사람일지라도 이 강좌를 수강함으로써 다시 한번 수학에 흥미를 가질 수 있는 기회가 되길 바랍니다. 

이어서 물리학과 박성찬 교수가 안내하는 기초 물리학의 개념에 대해 들어 본다.

Q. LearnUs ‘기초 물리학’ 강좌는 총 10개의 강의로 구성돼 있는데요, 물리학이란 무엇인지 소개하는 입문 내용부터 뉴턴 역학, 양자역학 등 다양한 내용을 소개하고 있는 것 같습니다. 비전공자들을 위한 강좌일 것으로 짐작은 되는데요, 구체적으로 어떤 분들이 이 강좌를 수강하면 도움이 될까요?

기초 물리학은 정말 모두를 위해 준비된 강의입니다. 물리학의 가장 중요한 기본 개념들을 배울 수 있도록 가능한 쉬운 말로 설명을 하고, 나아가 최신의 연구 성과까지 소개합니다. 인류가 과연 어디까지 자연의 섭리를 이해하게 됐는지 알고 싶은 분은 호기심을 채우실 수 있을 것이고, 또 나아가 공학을 비롯한 다양한 이과 학문의 기초가 얼마나 튼튼하게 물리학으로부터 제공되는지 알고 싶은 분들도 만족하실 수 있을 것입니다. 물론 이 강의만 듣는다고 다 알게 되는 것은 아니겠지만, 어느 길이 있으며 어느 방향으로 가야 할지 결정하는 데 도움이 되는 기초 가이드 강의라고 생각하시면 될 것 같습니다. 호기심과 흥미를 가진 중고등학생, 대학생 그리고 일반인 모두 수강하시면 좋겠습니다. 

Q. 사전 정보가 전혀 없는 독자들을 위해 물리학의 기본 개념을 간략하게 설명해 주세요.

지금 이 글을 읽으시는 분들은 아마 컴퓨터나 스마트폰 등을 이용하고 계실 거예요. 아마 방에는 형광등이나 LED 등이 공간을 밝히고 있겠죠. 실은 이런 문명의 이기들은 모두 19~20세기를 거쳐 발전한 물리학 연구의 성과물이라고 볼 수 있습니다. 인류가 전자기힘을 알고, 양자역학이라는 물리학 원리를 통해 다스릴 수 있게 돼 이 모든 문명의 이기가 만들어졌기 때문입니다. 물리학은 이미 우리 생활 깊숙이 들어와 있고, 나아가 행성과 별 그리고 우주의 진화에 대해서 이해할 수 있게 해 줍니다. 물리학은 자연의 섭리에 대한 가장 깊은 이해를 주는 학문이고, 이를 토대로 문명이 만들어졌으니 고마운 학문이라고 소개하고 싶습니다. 

Q. 고전물리학에서부터 현대물리학의 최신 성과까지 간략하게 소개해 주신다면요? (어떤 방향으로 발전해 왔고 학문적 논의가 진행돼 왔는지 들려주시면 좋을 것 같습니다.)

고전물리학은 돌멩이, 자전거, 대포알, 건물, 행성 등 큰 물체에 대한 물리학입니다. 나아가 빛의 속도에 비해 매우 느리게 움직이고 있는 물체의 운동을 정확하게 기술해 줍니다. 하지만 우리의 관심이 보다 더 작은 물질, 특히 우리 주변의 모든 물질을 만들어 주는 원자와 그 이하의 세계를 이해하기 위해서는 고전물리학을 넘어서는 새로운 양자역학이 필요해집니다. 특히 빛의 속도에 근접한 운동을 하는 물체, 특히 소립자와 같은 보다 근본적인 대상들은 상대성이론이라고 부르는 새로운 영역의 물리학을 필요로 합니다. 크고 느린 상황에 국한됐던 물리학이 점점 작고 빠른 대상에 대한 이해로 확장된 것이 물리학 발전의 큰 줄기라고 할 수 있겠습니다. 

Q. 물리학의 설명에서 늘 ‘시간과 공간’, ‘양자장’ 같은 개념들이 등장하는데요, 특히 고전적 개념의 시간이 존재하지 않는다는 것이 상당히 충격적으로 느껴졌던 기억이 있습니다. 물리학에서 ‘시공간’을 어떻게 이해하면 좋을까요? 우리가 살고 있는 세계는 결국 무엇으로 이뤄져 있는 것이라고 봐야 할까요?

시공간에 대한 본격적인 이해는 뉴턴으로 거슬러 올라가야 합니다. 17세기 수준의 물리학에서 뉴턴은 공간이라는 무대 위에 시간을 따라 움직이는 물체의 운동을 고민했습니다. 하지만 20세기 이후 특히 아인슈타인에 의해 시간과 공간이 따로 존재하는 그 무엇이 아니라, 실제로는 보는 관점에 따라서 그 개념이 혼재하며 서로 영향을 미치는 시공간이라는 형태로 존재한다는 것을 알게 됐습니다. 더구나 시공간은 고정된 것이 아니라, 스스로 진동하고 휘어질 수 있어 휘어진 공간에서 움직이는 물체는 중력을 느끼며, 마치 물결이 치는 호수처럼 시공간을 가로지르는 중력파가 존재합니다. 블랙홀은 극단적으로 시공간이 많이 휘어져서 빛도 빠져나올 수 없을 정도가 된 경우입니다. 그리고 물질의 가장 근본적 형태가 ‘양자장’이라는 것이 현대물리학의 결론입니다. 양자장은 시공간에 분포하면서 ‘양자요동’을 만들어 내는데 이 양자요동이 전자나 빛 등 모든 입자들의 근본이 됩니다. ‘삼라만상이 다 양자장이다.’라고 하는 것이 큰 과장은 아니겠습니다. 

Q. 교수님께서는 핵, 입자, 천체물리학을 주요 관심 분야로 연구하고 계신데요, 어떤 내용인지 소개해 주세요.

입자물리학은 아마 상상할 수 있는 가장 작은 물리학적 대상을 다루고, 우주론은 이름이 말해주듯 우주에서 가능한 가장 거대한 물리학적 대상인 우주 자체를 다루는 학문인데요, 실은 이 둘이 가장 근본적인 수준에서는 하나의 통일된 원리로 기술될 수 있다고 생각합니다. 특히 태초의 우주를 생각하면 우주가 매우 작고, 에너지가 높아서 실제로 입자물리학이 다루는 그 영역이 되겠습니다. 저는 우주가 어떻게 태어나서, 어떻게 진화하며, 어떤 물질들을 만들어 내어, 우주 만물을 만들고 또 어떤 운명을 가질 것인지 그 근본적인 원리를 이해하고 싶어서 ‘입자물리학’과 ‘우주론’을 연구하고 있습니다. 

Q. 물리학을 전공하고자 하는 학생들, 물리학에 관심을 가진 사람들에게 들려주고 싶은 말씀은 무엇인가요? 

물리학은 우주의 모든 것을 대상으로 생각하고, 인류가 이룩한 가장 깊은 수준에서 자연의 섭리를 배우는 학문입니다. 나아가 문명의 수준을 결정하는 기술의 원천이 되는, 깊이 있으며 동시에 유용한 학문입니다. 다양한 이론적 아이디어들이 정밀한 실험을 통해 검증되는 가장 잘 정립된 과학의 모범이 되는 학문이기도 합니다. 물리학을 공부하며 배운 지식 자체도 중요하겠지만, 물리학을 배우는 과정에서 진보한 형태의 수학과 컴퓨터를 활용한 다양한 지식, 그리고 정밀한 실험을 수행하기 위해 필요한 단계들을 습득할 수도 있을 것입니다. 인류가 쌓아 올린 멋진 지적 지식의 보물 상자를 열어본다는 마음으로 물리학 세계에 오시면 좋겠습니다. 

LearnUs 모듈 기초 교과 시리즈는 현재 총 3과목으로 ‘기초 통계’, ‘기초 수학’, ‘기초 물리학’이 개발돼 있고, 앞으로도 더 많은 교과목을 발굴해 누구나 수강할 수 있도록 무료로 공개함으로써 지식 나눔에 앞장서고, 학생들의 전공 선택에도 도움을 주고자 한다. 

LearnUs 모듈 시리즈: ‘기초 수학’ 커리큘럼

LearnUs 모듈 시리즈: ‘기초 물리학’ 커리큘럼

LearnUs 모듈 시리즈 강의 보러 가기

https://www.learnus.org/local/ubonline/index.php?group=1&ordertype=rc_d&keyword=%EB%AA%A8%EB%93%88

+ 네이버 오디오클립으로 듣기